Computing

Cloud Computing

Insbesondere für kleine und mittelständische Unternehmen ist es häufig nicht rentabel, eine eigene Höchstleistungsrechner-Infrastruktur aufzubauen und zu warten. Gleichzeitig besteht jedoch der Bedarf, nach Bedarf hin und wieder große Simulationen durchzuführen. Cloudbasierte Lösungen bieten hier die notwendige Flexibilität und ermöglichen gleichzeitig den Zugriff auf sehr leistungsstarke Rechner. Wir unterstützen unsere Kunden im Aufbau einer bedarfsgerechten cloudbasierten Lösung für Simulationen mit maßgeschneiderter Software.

Höchstleistungsrechnen und paralleles Rechnen

Höchstleistungsrechner unterscheiden sich von „gewöhnlichen“ Rechnern durch die ungleich höhere erreichbare Rechenleistung. Höchstleistungsrechner werden in vielen Bereichen der Forschung und Anwendung eingesetzt, wobei Simulationen eines der wichtigsten und am meisten genutzten dieser Forschungs- und Anwendungsfelder darstellen. Sehr große Berechnungsaufgaben werden in der Regel in paralleler Rechenweise auf Höchstleistungsrechnern durchgeführt. Beim parallelen Rechnen wird die Gesamtsimulation in mehrere Teilberechnungsaufgaben aufgeteilt bzw. es werden mehrere Prozesse gleichzeitig ausgeführt. Es gibt verschiedene Arten des parallelen Rechnens bzw. der Parallelisierung einer Berechnung. Das parallele Rechnen ist inzwischen die überwiegende genutzte Vorgehensweise, auf die die entsprechenden Computerarchitekturen ausgerichtet sind, zumeist in Form sog. Multicore-Prozessoren. Wir haben langjährige Erfahrung in der Entwicklung paralleler Simulationssoftware und in der Durchführung von großen Simulationen auf Höchstleistungsrechnern. Mit dieser Erfahrung unterstützen wir unsere Kunden bei Entwicklungs- und Anwendungsprojekten für paralleles Rechnen auf Höchstleistungsrechnern. Hierbei setzen wir sowohl „On-Premises-“ als auch Cloud-Lösungen um.

Maschinelles Lernen

Die Verwendung von modernen Techniken des maschinellen Lernens bieten vielfach auch für Ingenieursanwendungen einen erheblichen Mehrwert, insbesondere dann, wenn durch diese Lernalgorithmen physikbasierte Modelle ergänzt werden. Ein wichtiges Anwendungsbeispiel hierfür ist die sog. „predictive maintenance“. Des Weiteren verwenden wir Techniken des maschinellen Lernens im Bereich der Unsicherheitsquantifizierung und für Optimierungsaufgaben. Unsere Kernexpertise liegt dabei vor allem im Bereich der Bayes’schen Ansätze. Wir unterstützen unsere Kunden bei der Entwicklung und Implementierung von Lernalgorithmen, z.B. basierend auf Gauß-Prozessen oder tiefen neuronalen Netzen.

NUMErik

Im Folgenden beschreiben wir für den interessierten Leser detailliert die numerischen Methoden, die wir für die Simulation verschiedener anspruchsvoller Fragestellungen verwenden. Sämtliche Methoden sind in unserer „in-house“-Software implementiert und sofort verfügbar.

Netzbasierte Methoden

Mechanische (oder andere) Problemstellungen werden üblicherweise mathematisch durch partielle Differentialgleichungen beschrieben. Diese stellen kontinuierliche und somit unendlich-dimensionale Formulierungen dar, die an jedem Punkt des betrachten Raumes gelten. Durch ein Diskretisierungsverfahren wird das unendlich-dimensionale in ein endlich-dimensionales Problem überführt. Bei einer Finite-Differenzen-Methode (FDM) wird der kontinuierliche Operator der partiellen Differentialgleichung direkt diskretisiert, indem er durch einen diskreten Differenzenoperator angenähert wird. Im Gegensatz hierzu wird bei der Finite-Element-Methode (FEM) und der Finite-Volumen-Methode (FVM) der eigentlich unendlich-dimensionale Funktionenraum durch einen endlich-dimensionalen angenähert. Der Unterschied zwischen FEM und FVM liegt wiederum darin, dass im Rahmen eines gewichteten Residuenansatzes mit Einführung sogenannter Wichtungsfunktionen diese Wichtungsfunktionen für die FVM konstant und für die FEM nicht-konstant gewählt werden. Dies führt u. a. dazu, dass sich unterschiedliche Integralterme bei der Herleitung der jeweiligen Methode mittels partieller Integration ergeben.

Netzfreie Methoden

Die zuvor beschriebenen klassischen Diskretisierungsverfahren sind u. a. dadurch charakterisiert, dass sie ein Netz oder Gitter nutzen, innerhalb dessen z. B. die finiten Elemente im Rahmen der FEM oder die finiten Volumen im Rahmen der FVM angeordnet sind. Beispielsweise bei sehr starken Deformationen kann sich eine solche Vernetzung allerdings als nachteilig erweisen, da im Laufe der Simulation derartiger Probleme sehr große Netzdeformationen entstehen können. Eine Alternative im Rahmen der netzbasierten Methoden wären Neuvernetzungen, die allerdings üblicherweise mit sehr großem Aufwand bzw. Schwierigkeiten verbunden sind. Eine weitere Alternative sind netzfreie Partikel-Methoden wie z. B. die „Element Free Galerkin Method (EFGM)“ oder die „Reproducing Kernel Particle Method (RKPM)“. Ein besonders bekannter Vertreter netzfreie Partikel-Methoden ist die „Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)“ Methode. Bei diesen netzfreien Methoden werden an Stelle von Vernetzungen mit zugehörigen Gitterpunkten Partikel in den betrachten Raum eingeführt, an denen die Problemstellung entsprechend mathematisch formuliert wird.

Neuartige numerische Methoden

(Hybridisierbare) Diskontinuierliche Galerkin-Methoden

Man unterscheidet räumlich und zeitlich diskontinuierliche Galerkin-Methoden (DGM). Wenn man von DGM spricht, bezieht man sich allerdings i. d. R. auf die räumliche DGM, die Eigenschaften der Finite-Volumen-Methode (FVM) und der Finite-Element-Methode (FEM) vereint. DGM in Standardform weisen i.d.R. mehr Freiheitsgrade als klassische (kontinuierliche) FEMs auf. Um diesem Nachteil zu begegnen, wurden in letzter Zeit u. a. hybridisierbare diskontinuierliche Galerkin-Methoden (HDGM) entwickelt. Bei HDGM werden im Zuge der Hybridisierung Freiheitsgrade durch lokale Kondensationen eliminiert. Am Ende dieses Prozesses verbleiben Freiheitsgrade an den Elementrändern als einzige global gekoppelte Freiheitsgrade.

Extended und Cut-Finite-Element-Methoden

In vielen technischen Problemen treten sog. Diskontinuitäten auf. Ein Beispiel aus der Festkörpermechanik sind Risse, die in einer Struktur bei einer gewissen Belastung entstehen und sich anschließend in ihr ausbreiten. Ein Beispiel aus der Strömungsmechanik sind Mehrphasenströmungen, bei denen an den Phasengrenzen Diskontinuitäten wie z. B. eine deutlich unterschiedliche Dichte der einzelnen Phasen auftreten können. Darüber hinaus können in komplexen technischen Problemstellungen häufig große Deformationen oder sogar vollständige topologische Änderungen auftreten. Für all diese Probleme sind klassische numerische Berechnungsmethoden i. d. R. nicht geeignet. Eine wirkungsvolle Alternative stellt dann zum einen die sog. „eXtended“ Finite-Element-Methode (XFEM). Zum anderen wurde kürzlich die sog. „Cut“-Finite-Element-Methode (CUTFEM) vorgeschlagen, die eine genaue Lösungsdarstellung bei gleichzeitig nicht erforderlicher Anpassung des Berechnungsnetzes und des Problemgebiets ermöglicht. Somit wird eine enorme Vereinfachung der häufig sehr aufwändigen Netzerstellung für komplexe Geometrien erreicht.

Mortar-Methoden

Mortar-Methoden wurden ursprünglich als Gebietszerlegungstechnik für Spektralelemente eingeführt, finden heutzutage aber auch in der akademischen Forschung breite Nutzung als nicht-konforme Diskretisierungstechnik in der Finite-Element-Methode (FEM) für verschiedenste Einzelfeld-Anwendungen, wie z. B. Festkörper- bzw. Strukturmechanik und Strömungsmechanik, und Multiphysics-Anwendungen, wie z. B. Fluid-Struktur-Interaktion (FSI). Ein besonders zu erwähnendes Anwendungsgebiet ist Kontakt. Herkömmlicherweise sind Methoden wie „Knoten-zu-Segment (NTS)“ oder „Gaußpunkt-zu-Segment (GPTS)“ zur Simulation von Kontakt im Rahmen von FEM verwendet worden. Mortar-Methoden ermöglichen immer eine konsistente Last- und Bewegungsübertragung für jegliche Interface-Diskretisierungen, insbesondere auch für nicht passende Netze. Weitere Vorteile der Verwendung von Mortar-Methoden haben wir beispielsweise für Anwendungen im Bereich Kontakt aufgeführt. Inzwischen sind numerische Methoden, die auf dem Mortar-Ansatz basieren, der neueste Stand der Technik zur numerischen Lösung von Problemen der Kontaktmechanik sowie des sog. „Mesh-Tying“.

Mehrskalen-Methoden

Viele physikalische, biologische und chemische Probleme sind sog. Mehrskalen-Probleme, d. h. die mit diesen Problemen verbundenen Skalen erstrecken sich über ein sehr breites Spektrum, von relativ kleinen bis zu relativ großen Skalen. Zur Lösung von Mehrskalen-Problemen sollten entsprechend entwickelte Mehrskalen-Methoden verwendet werden. Speziell in der numerischen Mechanik unterscheidet man drei Gruppen von Mehrskalen-Methoden: Mehrskalen-Methoden für Probleme der Strömungsmechanik, Mehrskalen-Methoden für Probleme der Festkörper- bzw. Strukturmechanik und Mehrskalen-Methoden in allgemeinerer Form, die nicht speziell für eine der beiden vorgenannten Anwendungen entwickelt wurden.

Modellreduktion

Mit Hilfe von Modellreduktionen kann die numerische Komplexität von mathematischen Modellen für die Verwendung in Simulationen reduziert werden. Üblicherweise ist anschließend eine deutlich verringerte Genauigkeit der Lösung des Problems zu erwarten, aber zugleich ist diese Lösung mit wesentlich weniger Aufwand bzw. einer deutlich kürzeren Rechenzeit zu erreichen. Für die Modellreduktion verwendete Methoden sind z. B. die „Proper Orthogonal Decomposition (POD)“ und Krylov-Unterraummethoden.

Methoden zum Lösen von Linearsystemen: Mehrgitter-Methoden

Man unterscheidet direkte und iterative Methoden zum Lösen von Systemen linearer Gleichungen, bestehend aus Matrix, Lösungsvektor und Rechte-Seite-Vektor. Iterative Methoden sind hierbei in der Regel effektiver als direkte Methoden, insbesondere für schwach besetzte Matrizen, z.B. resultierend aus Diskretisierungsverfahren. Zur Verbesserung der sog. Konditionierung einer Matrix können Vorkonditionierer eingesetzt werden, z. B. Gebietszerlegungsmethoden in Form von additiven Schwarz-Methoden. Zu den derzeit effizientesten Methoden zur Vorkonditionierung bzw. Lösung von Linearsystemen zählen sog. Mehrgitter-Methoden. Die grundsätzliche Idee von Mehrgitter-Methoden besteht darin, Fehler mit Hilfe von Auflösungen auf mehreren Gittern iterativ zu dämpfen. Während hochfrequente Fehleranteile effektiv durch einfache Glättungsverfahren reduziert werden können, nutzt man zur Reduktion niederfrequenter Fehleranteile behelfsmäßig Varianten niedriger Auflösung des Problems auf gröberen Gittern. Man unterscheidet zwei Arten von Mehrgitter-Methoden: geometrische Mehrgitter-(GMG) und algebraische Mehrgitter-(AMG)-Methoden. AMG-Methoden weisen den häufig entscheidenden Vorteil auf, dass keine tatsächliche und u. U. sehr aufwendige geometrische Generierung mehrerer Gitter notwendig ist.

Gebietszerlegung

Mit Hilfe von Gebietszerlegungsmethoden wird ein Randwertproblem in kleinere Randwertprobleme, die auf Teilgebieten des Gesamtgebiets formuliert sind, aufgeteilt und in iterativer Form zwischen angrenzenden Teilgebieten gelöst. Die Teilgebietsprobleme sind prinzipiell unabhängig, so dass parallele Rechnungen bei Anwendung von Gebietszerlegungsmethoden ermöglicht werden. Man unterscheidet überlappende Gebietszerlegungsmethoden, wie z. B. die additive Schwarz-Methode, und nicht-überlappende Gebietszerlegungsmethoden, wie z. B. die „balancing domain decomposition (BDD) method“. Gebietszerlegungsmethoden wie z. B. die additive Schwarz-Methode werden üblicherweise als sog. Vorkonditionierer eingesetzt (siehe auch Methoden zum Lösen von Linearsystemen). Auch Mortar-Methoden wurden ursprünglich als Gebietszerlegungsmethoden eingeführt.